Kierownik - vacat
dr Paweł Karczmarek, adiunkt
dr Dorota Pylak, adiunkt
dr Paweł Wójcik, asystent


Katedra Równań Różniczkowych i Całkowych powstała 1 października 2002 roku. Głównym tematem badań naukowych prowadzonych w Katedrze jest znalezienie dokładnych i przybliżonych rozwiązań całkowych równań singularnych postaci:

rownanie_400


Takie równania pojawiły się w ślad za równaniami całkowymi Fredholma w pracach H. Poincaré i D. Hilberta na początku XX w. Po tym jak w latach 30. zostały odkryte ścisłe związki wyżej wymienionych równań z różnorodnymi zagadnieniami równań różniczkowych cząstkowych (teorii sprężystości, aerodynamiki, hydrodynamiki), a także ustalono związek z zagadnieniami granicznymi analizy zespolonej, zaczął się intensywny rozwój teorii takich równań. Do końca lat 40. została zakończona mająca największe zastosowania teoria równań w przestrzeniach Höldera.

Od początku lat 30. zaczęto opracowywać przybliżone rozwiązania równań (1), (2). W ciągu pół wieku udało się matematykom i mechanikom zbudować efektywne algorytmy numerycznego rozwiązania powyższych równań tylko w przypadku równań o stałych współczynnikach.

W 1990 M. A. Szeszko zaprezentował nową efekywną metodę numerycznego rozwiązywania singularnych równań całkowych z jądrami Cauchy’ego i Hilberta o zmiennych współczynnikach.

W Katedrze jest opracowany nowy schemat obliczeniowy dla szeroko rozprzestrzenionego w aerodynamice i teorii sprężystości całkowo-różniczkowego równania Prandla, mający szereg przewag nad znanym w aerodynamice schematem Multhoppa.

Wiele uwagi w pracach Katedry poświęca się znalezieniu dokładnych rozwiązań dla równań całkowych z jądrami Cauchy’ego w przypadku, gdy obszar całkowania równania jest nieskończony, a także równań z multiplikatywnymi jądrami Cauchy’ego. Badania wykazały, że teoria takich równań po obszarze nieskończonym może zasadniczo różnić się od podobnych równań z konturem całkowania skończonej długości.

Zbudowany został szereg schematów obliczeniowych dla wymienionych powyżej równań z wykorzystaniem wielomianów Czebyszewa oraz Jacobiego.

Wiele uwagi poświęca się oszacowaniom błędów zbudowanych przez nas przybliżonych rozwiązań.

W ostatnim czasie tematem badawczym Katedry jest równanie pierwszego rodzaju postaci:


rownanie1



Badania powyższego równania zostały rozpoczęte ponad 40 lat temu w pracach matematyków zachodnich. Istota problemu polega na tym, aby znaleźć jawne wzory będące rozwiązaniami powyższego równania. W przypadku dowolnych funkcji a(x) oraz b(x) z klasy Höldera prawdopodobnie nie da się uzyskać jawnych wzorów na rozwiązanie. W Katedrze została znaleziona postać współczynników a(x) i b(x) w rozpatrywanym równaniu, dla których można znaleźć jawną postać przy pomocy kwadratur, przy czym znane wcześniej w literaturze rezultaty są przypadkiem szczególnym.

Pracownicy Katedry prowadzą zajęcia dydaktyczne z zakresu metod numerycznych, równań różniczkowych cząstkowych, równań całkowych i ich zastosowań, programowania w C++ Builder oraz inżynierii oprogramowania.

Kierownik Katedry M. A. Szeszko uzyskał stopień doktora habilitowanego nauk matematycznych i fizycznych w roku 1993. Tytuł profesora nauk matematycznych w zakresie matematyki wyższej i fizyki matematycznej został mu nadany w 1995 r. Od 2004 zajmuje stanowisko profesora zwyczajnego. M. A. Szeszko został wpisany do Złotej Księgi Nauki Polskiej.

Publikacje w latach 2002-2005

M. A. Szeszko, Przedstawienie wektorowego singularnego charakterystycznego operatora całkowego z jądrem Cauchy’ego przy pomocy wielomianów Czebyszewa, Доклады Национальной академии наук Беларуси, т.46, No4, 2002 r.
M. Szeszko, H. Rasolko, Zastosowanie wielomianów Czebyszewa do przybliżonego rozwiązania singularnego równania całkowego z jądrem Cauchy’ego, Tpyды Инcтитyта Maтeмaтики Национальной академии наук Беларуси, t. 9, 2001 r. M. Szeszko, R. Smarzewski, G. Rasolko, Orthogonal approximate solution of Cauchy-type singular integral Equations, Computational Methods in Applied Mathematics, 2003, Vol 3, No 2.
M. Szeszko, R. Smarzewski, D. Pylak, Odwrócenie całek singularnych z jądrami Cauchy’ego w przypadku nieskończonego obszaru całkowania, Доклады Национальной академии наук Беларуси, t. 47, No 4., 2003 r.
M. Szeszko, R. Smarzewski, Singular integral equations with Cauchy kernels and their approximated solutions, First International Conference “Computational methods in applied mathematics”, Minsk, 2003.
M. Szeszko, G. Rasolko, Rozwinięcie singularnego charakterystycznego operatora całkowego z jądrem Cauchy’ego względem wielomianów Czebyszewa, Tezy Międzynarodowej konferencji poświęconej 100-leciu A. N. Kołmogorowa, Тambow 2003r.
M. Szeszko, D. Pylak, Inversion of Singular Integrals with Cauchy Kernels in the Case of an Innite Integration Domain, Differential Equations, Vol. 41, No. 9, 2005.
M. Szeszko, R. Smarzewski, D. Pylak, Singularne równanie całkowe z jądrem Cauchy’ego po osi rzeczywistej [po angielsku], Differential Equations, 2005 [w druku].
P. Karczmarek, D. Pylak, M. Szeszko, Application of Jacobi polynomials to approximate solution of a singular integral equation with Cauchy kernel, Applied Mathematics and Computation, 2005 [w druku].
Monografie
M. A. Szeszko, Mocno osobliwe równania całkowe z jądrami Cauchy’ego i Hilberta i ich przybliżone rozwiązania, NT KUL, Lublin 2003 r.

Konferencje

Międzynarodowa Konferencja poświęcona setnej rocznicy urodzin A. N. Kołmogorowa w Moskwie 11-16. 05. 2003, Moskwa, prof. M. Szeszko z tematem „Dokładne i przybliżone rozwiązanie singularnego równania całkowego z jądrem Cauchy’ego za pomocą wielomianów Czebyszewa”
International Conference CMAM-1, Minsk, Belarus 20-24. 07. 2003, prof. M. Szeszko z tematem „Singular integral equations with Cauchy kernels and their approximate solutions”

International Conference Modern Computational Methods in Applied Mathematics 14-19. 06. 2004 Bedlewo/Poznan, Poland: prof. M. A. Szeszko z tematem “Singular Integral Equation with Cauchy Kernel on Infinite Contour”; mgr Dorota Pylak z tematem “Singular Integral Equations with Multiplicative Cauchy Kernel on Infinite Area”.
Autor: Liliana Kycia
Ostatnia aktualizacja: 24.10.2016, godz. 18:13 - Ewa Pajdowska