:: Wykłady gościnne ::





Rok akademicki 2005/6




Podstawy teorii chaosu

prof. dr hab. Michał Tempczyk



W roku akademickim 2005/6 wykład obejmował w sumie 30 godz. (3 tygodnie po 2 × 5 godzin).

Prof. dr hab. Michał Tempczyk o swoim wykładzie:

Teoria chaosu, której szybki rozwój rozpoczął się w II połowie XX wieku, jest nowym spojrzeniem na dynamikę układów złożonych. Układy takie były badane od początku istnienia nauki, lecz możliwości ich dokładnego opisu, zrozumienia i przewidywania zachowania były przez wiele stuleci bardzo ograniczone. W rezultacie uczonym udawało się efektywnie opisywać i wyjaśniać własności wąskiej klasy stosunkowo prostych układów dynamicznych, takich jak ruch planet wokół Słońca, zderzenia dwóch kul sprężystych, powolny przepływ wody, budowa prostych atomów i związków chemicznych, fale na wodzie itp. Gdy chcieli dokładnie opisać i przewidywać procesy bardziej skomplikowane, takie jak wiry na wodzie lub procesy życiowe, szybko dochodzili do granic możliwości klasycznej nauki. Jednak rozwój matematyki i nauk przyrodniczych, oraz zastosowanie nowoczesnych komputerów doprowadziły do przełomu w tej dziedzinie. Powstała interdyscyplinarna dziedzina badań, zwana teorią chaosu lub dynamiką nieliniową.

Celem wykładu będzie zapoznanie słuchaczy z podstawowymi metodami, pojęciami i wynikami teorii chaosu. Wykład będzie podzielony na trzy części.

fraktal1_400
I. Dynamika w przestrzeni fazowej

Narzędziem opisu układów dynamicznych jest przestrzeń fazowa. W tej przestrzeni można łatwo badać jakościowe własności układów, takie jak ich stabilność, istnienie atraktorów, cykliczność ruchu itp. Dwuwymiarowa przestrzeń fazowa może być narysowana na papierze i wtedy wszystko ładnie widać. Teoria ergodyczna, badająca te sprawy ma interesujące wyniki i pozwala zrozumieć, na przykład, na czym polega ruch nieregularny i jak mierzyć stopień tej nieregularności. Dzięki niej uczeni zrozumieli jak silnie powiązane są ze sobą opis przyczynowy i statystyczny i jakie są granice dokładności poznania układów niestabilnych.
II. Teoria fraktali

Teoria ta, stworzona trzydzieści lat temu przez B. Mandelbrota, bada nietypowe konstrukcje geometryczne, które mają nieskończenie bogatą strukturę i do których opisu matematyka klasyczna nie potrafiła odpowiednio podejść. Teoria fraktali jest prostą, lecz intrygującą teorią matematyczną, a jednocześnie pozwala na dokładny opis nieregularnych obiektów przyrody, takich jak chmury, poszarpane skały, popękane lub zardzewiałe powierzchnie itp. Dzięki temu fraktale stanowią ważną część języka teorii chaosu. Podam ich podstawowe własności i wyjaśnię pojęcie wymiaru fraktalnego. Omówię ważne przykłady fraktalnych struktur przyrody.
fraktal3_400
fraktal2_400
III. Dynamika układów nieliniowych

Układy nieliniowe mają specyficzne własności, które poznano rozwiązując za pomocą komputerów nieliniowe równania różniczkowe. Najważniejsze są atraktory i bifurkacje. Podam najbardziej znane przykłady takich układów: atraktor Lorenza, Henona i Rosslera. Osobnym działem badań jest kwadratowe równanie posiadające odkryty przez Feigenbauma system bifurkacji. Tego typu własności pozwoliły uczonym zrozumieć jak powstają i rozwijają się skomplikowane układy o całościowej strukturze niezależnej od własności części.

Słuchacze nie muszą znać wyższej matematyki, wystarczy, gdy nie będą bali się podążać za moim tokiem rozumowania. Do pełnego zrozumienia wykładu wystarczy znajomość podstaw teorii równań różniczkowych. Celem wykładu jest pokazanie, że matematyka teorii chaosu nie jest trudna, a pozwala zrozumieć, dlaczego żyjemy w takim bogatym, dynamicznym świecie.









Autorem grafik jest Jarosław Wierny. Zostały tu zamieszczone za zgodą autora i pochodzą ze strony
http://www.fractal.art.pl.








opracowanie: Andrzej Zykubek
Autor: Andrzej Zykubek
Ostatnia aktualizacja: 22.01.2008, godz. 09:43 - Andrzej Zykubek